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數學學習有的人感覺很枯燥，不停的計算，背公式，其實數學是一個很有趣味的學科。題一般讓你求拋物線（和直線）的解析式，還可能多求拋物線的頂點坐標和對稱軸。大多數人感到枯燥單純為了做題而做題，很少人去動腦筋找出多種解題的思路，這就造成了這種現象，做過的題會做，沒做過的肯定錯。所以初中數學輔導給大家介紹幾種常用的解題妙招!希望能夠幫助到大家!

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因式分解法

因式分解，就是把一個多項式化成幾個整式乘積的形式。因式分解是恒等變形的基礎，它作為數學的一個有力工具、一種數學方法在代數、幾何、三角等的解題中起著重要的作用。

因式分解的方法有許多，除中學課本上介紹的提取公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法等外，還有如利用拆項添項、求根分解、換元、待定系數等等。

配方法

所謂配方，就是把一個解析式利用恒等變形的方法，把其中的某些項配成一個或幾個多項式正整數次冪的和形式。通過配方解決數學問題的方法叫配方法。

其中，用的多的是配成完全平方式。配方法是數學中一種重要的恒等變形的方法，它的應用十分非常廣泛，在因式分解、化簡根式、解方程、證明等式和不等式、求函數的極值和解析式等方面都經常用到它。

換元法

在解數學問題時，若先判斷所求的結果具有某種確定的形式，其中含有某些待定的系數，而后根據題設條件列出關于待定系數的等式，后解出這些待定系數的值或找到這些待定系數間的某種關系，從而解答數學問題，這種解題方法稱為待定系數法。奧數教學提倡結合學生日常課內教學的實際，不提倡超前進度，不宜把后來才能講明白的東西作為結論先讓孩子記住，要注重理解，舉一反三和靈活運用。它是中學數學中常用的方法之一。

換元法是數學中一個非常重要而且應用十分廣泛的解題方法。我們通常把未知數或變數稱為元，所謂換元法，就是在一個比較復雜的數學式子中，用新的變元去代替原式的一個部分或改造原來的式子，使它簡化，使問題易于解決。

一元二次方程ax2 bx c=0(a、b、c屬于R，a≠0，這里的2表示x的平方)根的判別，△=b2-4ac，不僅用來判定根的性質，而且作為一種解題方法，在代數式變形，解方程(組)，解不等式，研究函數乃至幾何、三角運算中都有非常廣泛的應用。這種題目如果是純幾何盡量把解題思路優先往圖形旋轉找全等、三角形相似、作輔助線上面靠，回答時注意分類討論，實在不懂有多少種情況就來句：“分以下情形討論”。

韋達定理除了已知一元二次方程的一個根，求另一根;已知兩個數的和與積，求這兩個數等簡單應用外，還可以求根的對稱函數，計論二次方程根的符號，解對稱方程組，以及解一些有關二次曲線的問題等，都有非常廣泛的應用。

構造法

運用構造法解題，可以使代數、三角、幾何等各種數學知識互相滲透，有利于問題的解決。

在解題時，我們常常會采用這樣的方法，通過對條件和結論的分析，構造輔助元素，它可以是一個圖形、一個方程(組)、一個等式、一個函數、一個等價命題等，架起一座連接條件和結論的橋梁，從而使問題得以解決，這種解題的數學方法，我們稱為構造法。

反證法

反證法是一種間接證法，它是先提出一個與命題的結論相反的假設，然后，從這個假設出發，經過正確的推理，導致矛盾，從而否定相反的假設，達到肯定原命題正確的一種方法。

反證法可以分為歸謬反證法(結論的反面只有一種)與窮舉反證法(結論的反面不只一種)。用反證法證明一個命題的步驟，大體上分為：(1)反設;(2)歸謬;(3)結論。

反設是反證法的基礎，為了正確地作出反設，掌握一些常用的互為否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是;存在/不存在;平行于/不平行于;垂直于/不垂直于;等于/不等于;大(小)于/不大(小)于;都是/不都是;至少有一個/一個也沒有;至少有n個/至多有(n一1)個;至多有一個/至少有兩個;/至少有兩個。每次一到考試就發蒙，考完之后的復盤卻覺得自己什么都懂，家長也只能干著急，找不到好的解決辦法。

用歸納法或分析法證明平面幾何題，其困難在添置輔助線。這種情況一般可以找一對一老師輔導，進行一些專題輔導(未必和課程同步)，對知識進行一些拓寬，意在提升學生的數學素養，使之在后兩年的學習中真正游刃有余，保持排頭。面積法的特點是把已知和未知各量用面積公式聯系起來，通過運算達到求證的結果。所以用面積法來解幾何題，幾何元素之間關系變成數量之間的關系，只需要計算，有時可以不添置補助線，即使需要添置輔助線，也很容易考慮到。

以上這些方法大家在做數學難題是可以運用起來，具體怎么運用，還是要靠學生們多做題，多思考；同時每次做完題的時候建議大家將同類型的題整理在一起復習，這樣可以避免只會做熟悉的題這一問題

小學數學是整個學習生涯中的基礎且很重要的階段，小學數學相對于初高中的來講難度系數少了好幾個百分點。難度系數高一點的無非就是考驗孩子們邏輯思維的應用題，這一板塊在小學數學考試中所占的比例也是相當大的，也是很多同學比較排斥的一類型題目。

那么，到底該如何學好小學數學呢？首先，不要因為數學是邏輯思維型的學科就忽視了知識積累的重要性。3、淘汰法：把題目所給的四個結論逐一代回原題的題干中進行驗證，把錯誤的淘汰掉，直至找到正確的答案。尤其是像公式、概念、運算法則等基礎知識，往往是容易被人們忽視的板塊，恰恰想要學好小學數學這些基礎知識是必須掌握的，這些內容是需要孩子們加以記憶然后再加以運用的。為此，家長們切記孩子在學習數學時要注重各個方面，對于每一個知識點都要加以鞏固理解，在熟記掌握了基礎知識點的基礎上結合有效的學習方法，不斷激發孩子學習的興趣與樂趣。

1、關于我在講求坐標和面積周長時介紹的五種結論，實際上還有另外一個：點到直線的距離公式，它是一個非常標準的高中解析幾何知識，用初中的函數語言可以表述為：

其中“d”表示點 到直線 的距離。

也就是說現在只要已知一個點的坐標和一條直線的解析式就能夠直接求出點到直線的距離。傳統的做法是：過已知點引垂線，用 求出垂線的k值，進而用已知點的坐標求出垂線的解析式，進而求出兩條直線的交點，再用兩點間距離公式求出點到直線的距離。

相比之下傳統的辦法慢多了不是嗎？但是我之前為什么不介紹這個方法呢？主要是因為考題基本不會這么問了，用到了這個公式也很可能不是解。到目前為止我就僅僅遇見過一次能用這個公式的中考題（某地市的填空題，好像同時考到了直線與圓的相切和路徑）。

簡單來說這個公式可記可不記，并不是說沒有這個公式就絕做不出題來，只是快不快的問題。

2、很多時候我們用兩點間距離公式前都會設一個未知數，把未知數帶入函數解析式中，得出在函數圖象上的動點的坐標，再帶入公式。這個階段孩子的科目有語文和數學，成績上不太看出來溜不溜，但從學習習慣上可以看出苗頭，俗語說的三歲看到老。但通常我們不會選擇對拋物線上的動點用兩點間距離公式，因為這樣的結果通常是以x作為主元，出現了四次方程。不過，在有些情況下，我們可以通過消元來實現降次。具體做法是把x用y表示出來。我們先來看一個例子：（2017·天津中考后一題后一問，有刪改）已知點P 為過點A（-1,0）的拋物線 上的一個動點，P關于原點的對稱點為P',當點P'落在第二象限內， 取得小值時，求m的值。參考給出的做法是這樣的：（圖片來源于網絡）

實際上這個做法就是兩點間距離公式的一種替代。如果我們直接用兩點間距離公式的話就會出現關于m的四次方程。但是這一題的解法巧就巧在第六步。我們不把t用m表示出來，而是直接帶入得到 ，

又由

就這樣神奇地把m消掉了[ ]

把原本關于m的四次函數降成了一個關于t的二次函數，之后就是正常做法了。

當時我們數學老師給出的評價是：不難。在學習過程中做一定量的練習題是必要的，但并非越多越好，題海只能加重學生的負擔，弱化解題的作用。的確，這一題的思路意外的直接，和近幾年某些地區大量堆砌數據的中考題還是很有區別的，它還是比較考察考生思維的廣度的，就是在得出一個看起來有點異樣的解析式后能不能反回去檢查出數據的特殊之處。這道題也啟示著我們以后在得出四次方程后得留個心眼，別立馬掉頭換思路。

3、提到了第二點我順便說說有關代數的一些東西。

初中代數重要的知識點大概只有這幾個：因式分解、一元二次方程（包括判別式及其應用和韋達定理及其應用）、不等式[包括一元一次不等式（組）、一元二次不等式]、代數式的運算法則（包括整式、分式和二次根式）。想提高你的數學成績，就一定要果斷的去補課，或者平時多多做練習。其中代數式的運算法則是對要掌握的（不然三年白學了）。接下來講講剩下的幾個。

首先是因式分解。還有一個大背景，廣東的數學在全國來說好像是不行的，英語比較好一點。寫在前面：一定要復習好因式分解，注意是“好”。因式分解是接下來三年高中數學的基礎。因式分解不熟練的話接下來絕要吃不少苦。然而現在的初中新課標對因式分解的要求非常低。僅有的提公因式法和兩個簡單的公式夠。這里額外補充幾種常見的方法：

①對于二次三項式的十字相乘法。在解題時，如果能恰當處理它們之間的相互轉化，往往可以化難為易，化繁為簡。這個方法在課本的閱讀與思考里花了一面的篇幅介紹過，很多考生也能夠掌握二次項系數為1時的十字相乘,具體的方法我就不細說了。這里要補充的是：原式的二次項系數要是正數，不是的話把負號提出來再十字相乘；十字相乘法同樣可以用于含字母系數的因式分解，比如說代數式 就可以用十字相乘法分解為 （當然這還沒有分解完全，因式分解的終結果只能保留小括號）。中考的話通常只會考二次項系數為1時的情況。

②對于四項或四項以上多項式的分組分解法。多于四項的多項式基本要用分組分解。不過這種方法中考基本（幾乎從來）沒考過，所以就不細說了。

③配方法。這個方法在課本上倒是出現的次數很多，講一元二次方程的解法時專門提到過，二次函數的頂點坐標公式也是用這個方法推導出來的。不過因式分解的配方法其實更類似于頂點坐標公式的推導，畢竟代數式不存在移項這種操作。

由于不能像方程那樣移項。二、口碑優異的輔導機構選擇一名好老師是很重要，選擇一家口碑優異的數學1對1輔導機構更重要。所以用配方法分解因式其實有點像中國古代數學的“出入相補法”。它的一般步驟是：先用提公因式法把二次項系數化為一，然后根據一次項系數添加相應常數項，再添加一個與其異號的常數項，這樣能使代數式在數值上是不變的，后就能得到一個完全平方式（簡單理解就是能夠配成完全平方的代數式，如 就屬于完全平方式）。配方后通常還沒分解完全，可以繼續分下去（很多時候你會驚奇地發現可以用配方法分解的式子同樣可以用十字相乘法，而且還比配方法更快）。

關于配方法，這里有兩個重要的結論：1、構成完全平方式的常數項等于其一次項系數一半的平方。2、任意一個非負數x可以看成是 ，由此可以引出關于二次根式的因式分解。別看這兩個結論簡單，有些比較復雜的分解就用的上。

我補充這幾個因式分解的方法，僅僅是希望能起到拋磚引玉的作用。重要的還是要真切地體會到因式分解背后體現的恒等變形思想，并在解決參量問題時多運用這種思想。

關于中考，配方和十字相乘要在中考出現是完全有可能的（事實上題經常會用到）。

再來講講一元二次方程。關于大題，幾何差不多有這幾種形式的題目：舉一反三啟發式、特殊情況推廣式、現學現用式，這些題目又常常和動點、函數解析式聯系起來。判別式的應用我在正文部分其實已經提到過了，這里不多說了，就講講韋達定理吧。韋達定理在新人教版里被叫作根與系數的關系，和三元一次方程組一樣屬于選學內容（千萬不能信所謂的選學內容，初中選學，高中必學）。韋達定理的內容用現在的代數語言表示就是：

這一偉大的韋達定理僅有兩個式子，卻能夠變換出無數的問題，特別是由此引出的各類代數證明題。如果平時上數學課都能聽得明白成績也很好那就不需要，一般的尖子生都很少補課，補課針對中等生比較好些，可能成績還可以如果加上一些補課成績會提高，如果成績很差那就建議補基礎，如果基礎不好補那些難的也沒有用。不過這幾年很多地區的中考已經不再單獨出一大題考代數證明了，如果考到了證明題很多時候就是考韋達定理和判別式的簡單應用，這里有兩個關于韋達定理基本的恒等變形式：

保持對式子各個成分的敏感性就行，中考里面考到了一般不會考得太難。

后提一下不等式。課本上要求掌握的是基本的一元一次不等式（組），實際上很多地區的中考題經常出現以二次函數為背景的一元二次不等式。所以說一元二次不等式的解法還是得了解一下的。

一元二次不等式的一般形式是： 0（ane 0）" eeimg="1"> 當然不等號的形式有多種。

解一元二次不等式有這兩種常用的辦法：

①因式分解法（可以解決很大一部分）。

就是先把不等號左邊的式子因式分解成兩個多項式的乘積（十字相乘或平方差公式等）。

然后根據這個結論：兩個乘積為正的式子同號（兩式同為正或兩式同為負）；兩個乘積為負的式子異號（一正一負或一負一正）。如：代換轉化、已知與未知的轉化、特殊與一般的轉化、具體與抽象的轉化、部分與整體的轉化、動與靜的轉化等等。將該一元二次不等式等價為兩個我們熟悉的一元一次不等式組，（原則是有等號取等號，比如說二次不等式里不等號用 ，那么等價后的一次不等式組中不等號也用 或 ）。有時候解到后其中有一個不等式組是無解的。后來個綜上所述就可以得出解集了。(不好意思實在找不到圖，自己寫的例子湊合一下)②數形結合法（通法）

有些時候不等式沒有辦法因式分解，那么就需要用到數形結合法了。方法如下：

先將不等式化為一般形式，然后根據該不等式寫出對應的二次函數，并在平面直角坐標系中（可以只畫一條x軸）畫出該拋物線，我們解不等式需要關注這個拋物線的兩個方面：是拋物線與x軸的交點（也就是該拋物線對應的一元二次方程的實數根），由于是不等式對應的拋物線，所以這個拋物線要么與x軸沒有交點（即原不等式無解），要么拋物線與x軸有兩個交點。一般來說第二三問的考察內容都是差不多的，就考數形結合思想和分類討論思想。第二是a的符號（正或負），a的符號決定了拋物線的開口方向，也就決定了不等式的解集是閉還是開的。熟練了以后圖都不用畫了，直接解對應方程，然后根據a的符號寫解集。

很多中考題也喜歡這樣考一元二次不等式，但是這個不等式被放在了二次函數的背景下，難度就減小了許多。一元二次不等式的解法是高中的知識，它在高中的個學期就會學到。我們在了解一元二次不等式的解法的基礎上，更應該體會數形結合的數學思想。

初中數學只有兩類問題是特別難的，一類是純幾何題，一類是含有坐標系的幾何題。

然而含有坐標系的幾何題通常也不算很難，因為所有你想要求的都可以用式子列出來，而且初中沒有計算量特別大的內容，有毅力就可以做出來了。

真正困難的是純幾何題，下面我以論證數量關系的問題為例，指出純幾何題的思考方式：

(2017北京28) 在等腰直角 中, 是 上一動點 (與點 不重合), 連接 延長 至點 使得 過點 作 于點 交 于 用等式表示線段 與 之間的數量關系, 并證明.

當我剛剛拿到這個問題時，就在心里有了決斷，我覺得

為什么呢？除了目測，的依據是， 與 的夾角是 如此規整的圖形，出現了一個 你能不往 上想嗎？類似地，如果是 或 那就可以推測比值是 這種的。

這是猜測比值的部分，接下來就要考慮證明的問題了。

可不要對著貌似毫不相干的 和比值 沒有任何想法，得真的想辦法往這個方向靠啊。做點動作變出個等腰直角三角形，就是靠近的思路。如此的話，要么貼著 以它為直角邊作；要么貼著 以它為斜邊作。你自己說說哪個顏值高，應該是后者吧。

所以，我們就在線段 上取 使得 連接 然后你想啊，這個等腰直角 直角邊得等于 啊（回歸目的），而且 那么連接 四邊形 應該是一個平行四邊形了。

雖然結果和證思路是基于猜測的，但是有理有據，事實上也是正確和可行的。

等腰直角三角形是我們自己作的，而平行四邊形是你需要證明的，證完了就做完了。（1）條件的分析，一是找出題目中明確告訴的已知條件，二是發現題目的隱含條件并加以揭示。平行四邊形的判定方法有：定義（對邊平行）、對邊相等、對角相等、一組對邊平行且相等，找個合適的用就是了。顯然用定義是的，為了證明另一組平行，需要充分利用已經得到的各種位置關系，你可以在評論區給出自己的想法。